MATRIZ HESSIANA

MATRIZ HESSIANA

Dada una función real f de n variables reales:

Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: , donde

.

tomando la siguiente forma

Además, se tiene que si : con A un conjunto abierto y f clase , entonces la matriz hessiana está bien definida, y en virtud delteorema de Clairaut (ó teorema de Schwarz), es una matriz simétrica.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.

Método para determinar el carácter de los puntos críticos

1. Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.
2. Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.
3. Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).
4. Se sustituyen los puntos críticos en la matriz hessiana para obtener tantas matrices como puntos críticos tengamos.
5. Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos se pueden evaluar mediante el criterio de Sylvester:

                                                 |H_impar|<0 y |H_par|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcanza el máximo relativo en el punto.

                                                 |H_i|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcanza el mínimo relativo en el punto.

                                                 |H_i|≠0 ∀i=1,...,n y no es ninguno de los casos anteriores, es un punto de silla.