alejanglezglez;UE EngStartUp, curso 2013-2014

MATRIZ HESSIANA

Dada una función real f de n variables reales:

$\begin{align} & f\colon\mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R} \\ & \,\,\,\,\,\,\,x\mapsto f(x) \\ \end{align}$

Si todas las segundas derivadas parciales de f existen, se define la matriz hessiana de f como: $H_{f}(\mathbf{x})$ , donde

$H_{f}(\mathbf{x})_{i,j} = \frac{\partial^2\,f(\mathbf{x})}{\partial x_i\, \partial x_j}$ .

tomando la siguiente forma

$H(f) = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2\partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}$

Además, se tiene que si : $f \colon A \subseteq \Bbb{R}^n \to \Bbb{R} \,$ con A un conjunto abierto y f clase $\mathcal C^2$ , entonces la matriz hessiana está bien definida, y en virtud delteorema de Clairaut (ó teorema de Schwarz), es una matriz simétrica.

Esta matriz debe su nombre al matemático alemán Ludwig Otto Hesse y fue introducido por James Joseph Sylvester.

Método para determinar el carácter de los puntos críticos

Se igualan las derivadas parciales primeras a cero.
Se resuelven las ecuaciones anteriores y se obtienen las coordenadas de los puntos críticos.
Se construye la matriz hessiana (derivadas segundas parciales).
Se sustituyen los puntos críticos en la matriz hessiana para obtener tantas matrices como puntos críticos tengamos.
Dependiendo del tipo de matriz resultante de evaluar la matriz Hessiana en los diferentes puntos críticos, estos puntos se pueden evaluar mediante el criterio de Sylvester:

|H_impar|<0 y |H_par|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcanza el máximo relativo en el punto.

|H_i|>0 ∀i=1,...,n ƒ alcanza el mínimo relativo en el punto.

|H_i|≠0 ∀i=1,...,n y no es ninguno de los casos anteriores, es un punto de silla.

INTEGRALES MULTIPLES

INTRODUCCIÓN

De la misma manera en que la integral de una función positiva $f(x)$ de una variable definida en un intervalo puede interpretarse cómo el área entre la gráfica de la función y el eje x en ese intervalo, la doble integral de una función positiva $f(x,y)$ de dos variables, definida en una región del plano xy, se puede interpretar como el volumen entre la superficie definida por la función y el plano xy en ese intervalo. Al realizar una "integral triple" de una función $f(x,y,z)$ definida en una región del espacio xyz, el resultado es un hipervolumen, sin embargo es bueno notar que si $f(x,y,z)=1$ el resultado se puede interpretar como el volumen de la región de integración. Para integrales de órdenes superiores, el resultado geométrico corresponde a hipervolúmenes de dimensiones cada vez superiores.

La manera más usual de representar una integral múltiple es anidando signos de integración en el orden inverso al orden de ejecución (el de más a la izquierda es el último en ser calculado), seguido de la función y los diferenciales en orden de ejecución. El dominio de integración se representa sobre cada signo de integral, o a menudo es abreviado por una letra en el signo de integral de más a la derecha:

$\iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;\mathbf{d}x_1 \mathbf{d}x_2\!\ldots\mathbf{d}x_n$

Es importante destacar que no es posible calcular la función primitiva o antiderivada de una función de más de una variable por lo que las integrales múltiples indefinidas no existen.

PROPIEDADES

Las integrales múltiples comparten muchas de las propiedades de las integrales simples. Si f y g son funciones continuas en una región cerrada y acotada D en un espacio Rⁿ y c una constante con respecto a todas las variables involucradas entonces se puede demostrar que:

$\iint \ldots \int_D\;c f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n = c \iint \ldots \int_\mathbf{D}\;f(x_1,x_2,\ldots,x_n) \;dx_1 dx_2 \ldots dx_n$